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Gabriel Lamé, physicien

« La théorie analytique de la chaleur » : Notes on Fourier et Lamé

Raffaele Pisano et Danilo Capecchi
p. 87 - 93

Texte intégral

Abstract

  • 1 The content of this paper is part of a larger research program worked at Facoltà di Architettura, V (...)

1Since the second half of 18th century, new instruments produced many data and improvements (not only in mechanics) of the scientific knowledge and its applications. Thanks to Euler and Lagrange, the differential equations started to become an important instrument to solve very complex problems, beforehand considered as unsolvable. The Traité de mécanique céleste (1805) by Laplace represents the climax of such an approach and soon becomes part of an important process of exaltation of the physics carried out by means of advanced mathematics (e.g. Fourier’s series applied). This exaltation also emerged in mechanical studies on the Earth where the difficulty increased for the inclusion of friction in the equation of motion. In this historical view, we briefly present1 epistemological reflections on Gabriel Lamé’ Leçons sur la théorie analytique de la chaleur (1861) and Joseph Fourier’s Théorie analytique de la chaleur (1822) focusing upon physical-mathematical relationship in the theory. Notes on scientific context of 19th century should finish our short essay.

Introduction

  • 2 Cfr. : Louis-Bernard Guyton de Morveau, Antoine, Laurent, Lavoisier, Claude-Louis Berthollet, Antoi (...)

2A classical thermometry developed first. The scientific studies concentrated on the construction and improvement of the thermometers that measured the so-called degrees of caloric2. The two major accredited theories were, the mechanical theory which conceived heat as an accident of the matter, resumed from Roger Bacon (1214-1294) and Johannes Kepler (1571-1630), and the fluidists theory which conceived heat as a substance (a fluid), with the chemists associating the heat to the element feu. The mechanical theory of heat cohabited for a long time with the fluidists theory of the heat based on previous theory of the phlogiston studied by Georg Ernst Stahl (1660-1734). The fluidists theory was welcomed by scientists and philosophers because they held it coherent. Leonhard Euler (1707-1783), Henry Cavendish (1731-1810), Joseph Priestley (1733-1804), Adair Crawford (1749-1795), Johann Mayer (1752-1830), Immanuel Kant (1724-1804), Alexander Volta (1745-1827), considered phlogiston neither heat nor temperature; but as something which produced heat when it freed itself into the bodies.

  • 3 Lectures upon Elements of Chemistry, Edinburgh, 2 Voll. 1809. Cfr. : Guerlac, Henry, « Black, Josep (...)
  • 4 Georg, Wilhem, Richmann, « De quantitate caloris, quae post miscelarti fluidorum, certo gradu calid (...)
  • 5 Georg, Wilhem, Richmann, « Formulae pro gradu excessus caloris supra gradum caloris, mixti ex nivee (...)
  • 6 Antoine, Laurent, Lavoisier, Traité élémentaire de Chimie, Paris : Gauthier-Villars (ed.), Tome I-I (...)
  • 7 E.g. one can see Méthode de nomenclature chimique (1687) by Lavoisier-Berthollet-de Fourcroy-de Mor (...)

3We remark that researches on heat phenomena mainly implicated magnitudes such as heat Q and temperature t. It is logical that the interest were focused on the ratio dQ/dt, which seemed the basic theoretical physical magnitude. The experiments by Joseph Black3 (1728-1799) were very crucial for the development of the theory. He started with the Georg Wilhem Richmann’s4 (1711-1753) formula5, extended it for fluids different from water and made primal studies on what today we call thermometry and calorimetry, latent heat and specific heat. In 1789, chemistry produced a real revolution and Antoine Laurent Lavoisier6 (1743-1794) such as chemists of his time, searched for basic principles of this new theory in a revolutionary fashion7.

  • 8  Lavoisier attempted an early distinction between heat and temperature. (Cfr. : Antoine, Laurent, L (...)
  • 9 Antoine, Laurent, Lavoisier, Pierre Simon Laplace, « Mémoires sur la Chaleur », Histoire de l’Acadé (...)
  • 10 Joseph-Louis, Gay-Lussac, « Recherche sur la dilatation des gaz et des vapeurs », Annales de Chimie (...)
  • 11 Pierre, Louis, Dulong, Alexis, Thérèse, Petit, « Recherches sur les lois de la dilatation des solid (...)
  • 12 Cfr. : Siméon-Denis Poisson, « Sur la vitesse du son », Annales de Chimie et de Physique, vol. XXII (...)
  • 13 Zeuner, Gustav, Théorie mécanique de la chaleur : avec ses applications aux machines, Paris : Gauth (...)

4Lavoisier assumed two new elements such as chaleur, calorique8 et lumière; it is also very important the research carried out by Lavoisier and Pierre Simon Laplace9 (1749-1827). In 1802 Joseph-Louis Gay-Lussac10 (1778-1850) formulated a law of gases; then Pierre Louis Dulong (1785-1838) and Alexis Thérèse Petit11 (1791-1820), in 1817-19, showed that specific heat depended on temperature (in some cases). However, we have to wait for the second half of 1800 to give validity, not only experimental, to the laws of gases known at that time studied by theoretical physicists (and chemists). In particular, the law of adiabatic12 produced a little bit confusion and various laws were formulated; even when, e.g., Siméon Denis Poisson (1781-1840) formulated the right equation, most scientists did not considered it. At this point, the scientific knowledge on the matter took two ways, one based on the properties of gases (kinetic model of gases) and another one based on the efficiency of heat machines,13 which naturally included the gas theory and later will be the thermodynamics.

  • 14 Cfr. : Jacques, Payen, « Une source de la pensée de Sadi Carnot », Archive international d’Historie (...)
  • 15 Lazare, Carnot, Essai sur les machinés en général, Dijon : Defay (ed.), 1782. In ’70s, Gillispie pr (...)
  • 16 Sadi, Carnot, Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu sur les machinés propre à développer cette (...)
  • 17 Robert, Fox, The Caloric Theory of Gases : From Lavoisier to Regnault, Oxford : Clarendon Press, 19 (...)
  • 18 Sadi Carnot only wrote a mathematical footnote (Sadi, Carnot, 1978, ft. n. 1, op. cit,. pp. 73-79).
  • 19 Antonino, Drago, Raffaele, Pisano 2007, « La novità del rapporto Fisica-Matematica nelle Réflexions (...)

5Sadi Nicolas Léonard Carnot14 (1796-1832), basing on his father’s (Lazare15; 1753-1823) theory of mechanical machines, chose the second one. He certainly was one of the most important and genial scientists of the 19th century. His Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu16and last consideration with regard to the theory on gases17 appeared in such a short term, more or less three years.18 It was a total overturning of the relationship physics-mathematics19, which was a new theory starting from the engineering practices.

  • 20 Benoît, Paul, Émile, Clapeyron, « Mémoire sur la Puissance Motrice du Feu », Jour. École Polytechni (...)
  • 21 Rudolf, Julius, Emmanuel, Clausius, « Ueber die bewegende Kraft der Waerme und die Gesetze... », An (...)

6In 1834, a theoretically adjustment of Sadi Carnot’s theory was proposed with a commemorative essay written by Émile Clapeyron20 (1799-1864); but Rudolf Clausius (1822-1888) and William Thomson (1824-1907)21 wrote more important works for a theoretical advancement of the theory, based on an advanced mathematics.

7However a strong analytical approach already had been adopted by Fourier when he formulated his differential equation for the heat propagation in the solid (1807); before the contribution of Sadi Carnot and when the difference between heat and temperature was still object of discussion. He introduced many innovations because the science of heat and the theory of differential equations were all in an early stage of development at his time.

  • 22 Some of them : Joseph, Liouville, Thèses de mécanique et d’astronomie, Paris : Imprimerie de bachel (...)
  • 23 Georg, Friedrich, Bernhard, Riemann (1826-1866) : Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grun (...)

8In the wake of Fourier, some fifty years later, Gabriel Lamé wrote Lecons sur la theorie de la chaleur (1861). Now, the theory of heat is a well-defined science and several important conclusions are reached on thermodynamics, whose field of applicability in physic is under study even by mathematicians22. Let us remark that Lamé does not seem interested to thermodynamics and devotes to heating transmission, topic that now has its own framing in a new branch of physics. It is carried out essentially by mathematicians for which the physical problems are the hint to face complex problems of mathematical analysis. Among them, besides the partial differential equation of heating transmission there is the potential theory23. Lamé is surely a transition figure towards what will become the physic mathematics of nineteenth century.

On Fourier's Théorie analytique de la chaleur (1822)

  • 24 Ivor, Grattan-Guinness, Jerome, Ravetz, Joseph Fourier, 1768-1830, Cambridge : MIT Press, 1972 ; Id (...)
  • 25 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides », Nouve (...)

9On 21 December 1807, Jean Baptiste Joseph Fourier24 (1768-1830) presented his work on heat, Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides25, at the Académie des Sciences de Paris. He focused on heat transmission between discrete masses and gave special cases-studies of continuous bodies (e.g. ring, sphere, cylinder, rectangular prism and cube). His work was judged by a committee composed, among others, by Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) and Pierre Simon Laplace (1749-1827) who rejected it. According to Grattan-Guinness :

  • 26 Ivor, Grattan-Guinness, « Joseph Fourier and the revolution in mathematical physics », Journal of t (...)

The significance of the contributions made to the development of mathematical physics by Joseph Fourier (1768 - 1830) has been made difficult to evaluate by the controversies, which they stirred amongst his colleagues and rivals. One result of this situation was that his major paper, submitted to the Académic des Sciences at Paris in 1807, was never published. The manuscript is still extant, however, and its major features are discussed in the light both of contemporary results and also of immediately succeeding work which it did so much to inspire. An edition of this and other Fourier manuscripts on mathematical physics is in preparation26.

  • 27 The prize was only conferred on 1812.
  • 28 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Mémoire su la théorie analytique de la chaleur dans les solides » (...)
  • 29 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris : Firmin Didot, 1822, pp.  (...)

10In 181127, in occasion of a prize competition on the propagation of heat in solid bodies, Fourier improved his work and presented it28 again. Now, a crucial mathematical problem was the propagation (one dimension) of heat in infinite domain. He won but his work was not given the possibility to be published in the Mémoires de l’Académie. In 1822, he published a monographic work, the Théorie analytique de la chaleur 29 which contained in its first part about integrally the Mémoire of 1811. Gabriel Lamé wrote on Fourier in its Discours préliminaire contented in Leçons sur la théorie analytique de la chaleur :

  • 30 Gabriel, Lamé, « Discours préliminaire », Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, Paris : M (...)

Passons à l’historique [...]. Le travail primitif de Fourier, sur la théorie analytique de la chaleur, ne considère que le cas de la conductibilité constante, autour d’un même point du milieu solide homogène. Le principe admis conduit à ce corollaire, que le flux de chaleur qui traverse un élément plan ne contient que la variation, normale à cet lament, de la fonction cherchée, laquelle n’est autre que la température. Ce corollaire établit rapidement l’équation aux différences partielles du second ordre qui règne à l’intérieur du corps, [...J30.

  • 31 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, « Discours préliminaire », Théorie analytique de la chaleur, Paris (...)

11In formulating heat conduction in terms of a partial differential equation and developing methods to solve it, Fourier introduces many innovations because the science of heat and the theory of differential equations were all in a early stage of development at his time, as we have just observed. Probably the most important aspects of Fourier works was the method of solution; however also his physical insights are very relevant. In the following, we will briefly consider only these. In the Discours préliminaire31(1822), Fourier also argued on the problems of his theory:

  • 32 Ivi, op. cit., line 25, p. vij.
  • 33 Ivi, op. cit., line 12, p. viij.
  • 34 Ivi, op. cit., line 10, p. ix. (Italic style from the author).

Pourquoi les températures terrestres cessent-elles d’être variables à une profondeur si petite par rapport au rayon du globe ?32 [...]Pourquoi les seuls changements annuels de la distance du soleil à la terre, ne causent-ils pas à la surface de cette planète des changements très considérables dans les températures ?33 [...] Commentpourra-t-on déterminer cette valeur constante de la température de l’espace, et déduire celle qui convient à chaque planète ?34

  • 35 E.g. : Denis, Papin (1691) ; Thomas, Savery (1698) ; Boulton & Watt company in Soho, near Birmingha (...)
  • 36 Charles, Singer, Storia della tecnologia, vol. 4, Torino : Boringhieri, 1981, pp. 152-221 ; Henry, (...)
  • 37 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Discours préliminaire », Théorie analytique de la chaleur, 1822, (...)
  • 38 Ivi, op. cit., pp. ij-iv.
  • 39 Sadi Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu sur les machinés propre à développer cette (...)

12He also dealt with others problems and the social importance of solving them, since in his opinion, they were still opened at that time. Among many problems, he emphasized those typically associated to early heat machines35, which started to spread at that time36. Fourier already in the first pages of his Discours préliminaire remarked the great results obtained by rational mechanics37: it included the principles, which regulated the motion of the planets, equilibrium and oscillation of seas, the propagation of light, capillary phenomena. Moreover, he claimed heat phenomena were not referable to mechanical ones, which already had a consolidate scientific theory.38 In this sense, a theoretical and satisfactory theory for heat phenomena seemed still far; at least until Sadi Carnot’s scientific work (1824)39.

  • 40 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., line 23, p. ij.
  • 41 Ivi, op. cit., line 14, p. iij.

Mais quelle que soit l’étendue des théories mécaniques, elles ne s’appliquent point aux effets de la chaleur. Ils composent un ordre spécial de phénomènes qui ne peuvent s’expliquer par les principes du mouvement et de l’équilibre. On possède depuis longtemps des instruments ingénieux, propres à mesurer plusieurs de ces effets ; on a recueilli des observations précieuses ; mais on ne connait ainsi que des résultats partiels, et non la démonstration mathématique des lois qui les comprennent tous 40. Pour fonder cette théorie, il était d’abord nécessaire de distinguer et de définir avec précision les propriétés élémentaires qui déterminent l’action de la chaleur. J’ai reconnu ensuite que tous les phénomènes qui dépendent de cette action, se résolvent en un très-petit nombre de faits généraux et simples ; et par là toute question physique de ce genre est ramenée à une recherche d’analyse mathématique. J’en ai conclu que pour déterminer en nombre les mouvements les plus variés de la chaleur, il suffit de soumettre chaque substance à trois observations fondamentales41.

13The basic proprieties assumed by Fourier concern the capacity of bodies to absorb and to transfer heat. A small group of faits primordiaux allows to deduce the principes of theory, as one can see to occur in rational mechanics:

  • 42 Ivi, op. cit., line 4, p. xj.

Les principes de cette théorie sont déduits, comme ceux de la mécanique rationnelle, d’un très-petit nombre de faits primordiaux, dont les géomètres ne considèrent point la cause, mais qu’ils admettent comme résultant des observations communes et confirmés par toutes les expériences. Les équations différentielles de la propagation de la chaleur expriment les conditions les plus générales, et ramènent les questions physiques à des problèmes d’analyse pure, ce qui est proprement l’objet de la théorie. Elles ne sont pas moins rigoureusement démontrées que les équations générales de l’équilibre et du mouvement42.

14The main principle adopted by Fourier for the heating transmission is the following : SECTION III. Principe de la communication de la chaleur. ART. 57, 58, 58.

  • 43 Ivi, op. cit., line 14, p. 605. (Italic style from the author).

39. Lorsque deux molécules d’un même solide sont extrêmement voisines et ont des températures inégales, la molécule plus échauffée communique à celle qui l’est moins une quantité de chaleur exactement exprimée par le produit formé de la durée de l’instant, de la différence extrêmement petite des températures, et d’une certaine fonction de la distance des molécules43.

15Mathematical side emerges on physical one, both for experimental phenomena and for hypotheses and reasoning necessary to introduce them. In the end, one can only discuss the solutions of equations and their physical-mathematical limits.

  • 44 Ivi, op. cit., line 11, p. 42.

59. En désignant par υ et υ'  il les températures des deux molécules égales m et n ; par p, leur distance extrêmement petite, et par dt la durée infiniment petite de l’instant, la quantité de chaleur que m reçoit de n, pendant cet instant, sera exprimée par (υ' - v) (p). dt. On désigne par   (p) une certaine fonction de la distance p qui, dans les corps solides et dans les liquides, devient nulle lorsque p a une grandeur sensible. Cette fonction est la même pour tous les points d’une même substance donnée ; elle varie avec la nature de la substance44.

16Fourier is indifferent to the problem of nature of heat also because, from a mathematical point of view, it does not modify any reasoning upon partial derivate of the new analytical theory of heat.

  • 45 Ivi, op. cit., line 10, p. 18.

On ne pourrait former que des hypothèses incertaines sur la nature de la chaleur, mais la connaissance des lois mathématiques auxquelles ses effets sont assujettis est indépendante de toute hypothèse ; elle exige seulement l’examen attentif des faits principaux que les observations communes ont indiqués, et qui ont été confirmés par des expériences précises45.

17The propagation of heat in solids is interpreted by functions in time and space and differential equations:

  • 46  Ivi, op. cit., line 19, pp. 134-135. (Italic style from the author).

CHAPITRE II. 142. THEOREME IV. Il est facile de déduire des théorèmes précédents les équations générales de la propagation de la chaleur. Supposons que les différents points d’un solide homogène d’une forme quelconque, aient reçu des températures initiales qui varient successivement par l’effet de l’action mutuelle des molécules, et que l’équation  υ = f (x, y, z, t) représente les états successifs du solide, on va démontrer que la fonction v de quatre variables satisfait nécessaire à l’équation46 :

  • 47 Cfr. : Ivor, Grattan-Guinness, « Joseph Fourier and the revolution in mathematical physics », Journ (...)
  • 48 David, Keston, « Joseph Fourier, Politician & Scientist », also available at : http://www.todayinsc (...)
  • 49 « [...] les effets les plus composés de toutes les forces naturelles, et l’on a confirmé cette pens (...)

18Nevertheless, at that time, the Fourier’s analytic theory of heat was too premature to be involved into a definitive mathematical and mechanical scheme47. In fact, « Part of its impact was that it did not fit into the scheme of rational and celestial mechanics48 ». In any case, in the first half of 1800, one can remark a crucial change for the physical theorization because central forces were found to be ineffective to produce heat phenomena. Despite Fourier introduced mathematical techniques just used in Newtonian physics (differential equation), he understood49 that all of results did not guarantee an evident continuum of the previous theory of heat (and heat machines).

19To sum up, although the theory had earned the use of an higher mathematics, the theoretical advancement proposed by Fourier, resulted too much specialized in a Newtonian paradigm; and so narrow in itself, without clear perspectives for a further development of a general theory of heat.

On Lamé's Leçons sur la théorie analytique de la chaleur (1861)

  • 50  Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, Paris : Mallet-Bachelier, 1861.

20In 1861 Gabriel Lamé wrote his textbook, Leçons sur la théorie analytique de la chaleur50(in hereinafter Leçons) focusing on the mathematical role played by transmission of heat, independently both by physical laws phenomena and the nature of heat.

  • 51 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, Paris : Bachel (...)

La Physique mathématique proprement dite est une création toute moderne, qui appartient exclusivement aux Géomètres de notre siècle. Aujourd’hui, cette science ne comprend en réalité que trois chapitres, diversement étendus, qui soient traités rationnellement ; c’est-à-dire qui ne s’appuient que sur des principes ou sur des lois incontestables. Ces chapitres sont : la théorie de l’électricité statique à la surface des corps conducteurs ; la théorie analytique de la chaleur ; et la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides. Le dernier est le plus difficile, le moins complet ; il est aussi le plus utile, à une époque ou l’on veut apprécier l’importance d’une théorie mathématique par les résultats qu’elle peut fournir immédiatement a la pratique industrielle51.

21Then, in this sense

  • 52 Ivi, op. cit., line 4, p. VI.
  • 53 Ibidem, op. cit., line 24.

L’Analyse ne tardera pas, sans doute, à embrasser d’autres parties de la Physique générale, telles que la théorie de la lumière, et celle des phénomènes électrodynamiques. [.]. Mais on ne saurait trop le répéter, la véritable physique mathématique est une science aussi rigoureuse, aussi exacte que la Mécanique rationnelle. Elle se distingue, par là, de toutes les applications qui s’appuient sur des principes douteux, sur des hypothèses gratuites ou commodes, sur des formules empiriques ; le plus souvent ce ne sont là que des essais, que des calculs numériques au service d’une classification factice. [.] toutes ces théories empiriques et partielles ne sont que des sciences d’attente52. Leur règne est essentiellement passager, intérimaire. Il durera jusqu’à ce que la Physique rationnelle puisse envahir leur domaine. Elles n’auront plus alors qu’une importance historique53.

  • 54 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, Paris : Bachel (...)

22As well, as son of his time, in the Leçons Lamé was influenced by the positivistic environment of the science in France at that time. In order to better understand his analytical approach, some lines belonging to his previous work on L’élasticité des corps solides54are necessary to be remarked. Here he strongly centred his scientific thought on the role played by mathematics in respect of physical phenomena, moving towards a physique rationnelle. Gabriel Lamé’s concepts (e.g. velocity, propagation) with regard to heat, were supported by means of advanced mathematics, differential equations and integral calculus. This mathematical aspect led him it into a rational theory, which shows all his power when it is included in a larger and consolidate theory strongly interpreted by mathematics. Particularly, this approach was based on methods and techniques, which were far from Antoine Laurent Lavoisier and Sadi Carnot’s theories as just argued up above.

23In general, Lamé is not interested in experiments and procedures on measures, hypothesis on nature of heat, physical theory of heat, specific heat, as one can read from his theoretical premise of theory in his Discours préliminaire in Leçons :

  • 55 Gabriel, Lamé, 1861, « Discours préliminaire », op. cit., p. V

Le Cours que j’entreprends aujourd’hui a pour objet principal d’établir la Théorie analytique de la Chaleur, sans partir d’aucun principe hypothétique relatif à la constitution intérieure des milieux solides, sans présupposer les lois de l’échange calorifique, ou du rayonnement particulaire, sans adopter aucune restriction pour les variations de la conductibilité autour d’un même point. Je suis de plus en convaincu qu’en évitant, de cette manière, toute idée préconçue sur les lois naturelles, [.]. En effet, la Théorie de l’Élasticité, complètement dégagée de tout principe hypothétique, peut démontrer rigoureusement, en s’appuyant sur les faits, que dans les milieux diaphanes, les particuliers pondérables vibrent lumineusement55.

24Thus, removed any physical consideration, the temperature is also introduced as a mathematical function:

  • 56 Ivi, op. cit., line 26, p. VI.

On se propose de reconnaître les lois qui régissent, à l’intérieur d’un milieu solide homogène, une ou plusieurs fonctions de trois coordonnées, seules variable dans l’état statique, et du temps, quatrième variable lors de l’état dynamique56.

  • 57 Ivi, « Première leçon », op. cit., line 8, p. 2.

Il est alors nécessaire de modifier, ou d’étendre le principe adopté jusqu’ici, tout en admettant : I- que la température est une fonction continue des coordonnées et du temps ; 2- que la quantité de chaleur cédée, dans un temps très court, par un premier point plus chaud, à un second point très voisin et plus froid, est, toutes choses égales d’ailleurs, proportionnelle à la très petite différence des températures de ces deux points57.

25In details, we have :

  1. The temperature is a function of the space and time T = f (x, t) (continuous cases only).

  2. Constant orientations-transfer of heat into a material object.

  3. For T = f (x, y, z) by 3 variables, he defines a static state.

  4. For T = f (x, y, z, t) by 4 variables, he defines a dynamic state.

26He wrote :

Ce qui donne pour le flux correspondant à tout élément plan (23)

  • 58 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, 1861, op. cit., line 8, p. 16. Let’s (...)

dn étant l’accrois­sement de la normale à l’élément, et q la conductibilité constante. Ainsi, dans un milieu solide homogène, non cristallin, chaque flux élémentaire ne comprend que la variation normale de la température, et le coefficient de cette variation est le même pour tous les éléments plans, quelle que soit leur orientation. L’expression (23) est identique avec celle que Fourier a déduite d’une loi physique, prise pourpoint de départ. Dans la théorie actuelle, cette expression est rigoureusement établie ; et l’on voit clairement qu’elle ne doit pas comprendre les variations tangentielles de la température : ce dont on pouvait douter avec l’ancienne méthode58.

  • 59  « 15. Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. [...]. Ces expériences confirment le (...)
  • 60 Ivi, « Première leçon », op. cit., p. 1.

27Avoiding to focus on different nature of heat (a little bit doubtful59 in Fourier, and more positivist in Lamé also associated to temporal distance between two scientists) the Lamé’s Leçons recall Fourie’s theory adding some improvements60 especially for mathematical techniques. In particular: introduction of elliptically coordinates, non-isotropic solids, more complex geometrical forms of bodies.

Final remarks

  • 61 Pierre, Simon, Laplace, Exposition du système du monde, Paris : Fayard, (1836) 1984 ; Id., Traité d (...)

28Observed from a historical epistemology point of view, the first researches on heat seemed to echo the scientific programs in Traité de mécanique céleste and Exposition du système du monde61by Laplace concentring on central forces and offering the possibility of realizing differential equations.

29The exaltation of the importance of mathematical theory of heat occurs when it is included in a new theory: e.g., propagation, velocity applied to heat. This last fact manly started thanks to Fourier first and Lamé later. Both of them included a lot of mathematical aspects so that the theory appeared completely as mathematical one: Théorie analytique de la chaleur. The theory was pushed ahead by means of an advanced mathematics (differential calculus by partial derivates, integral calculus, series, et al...) to interpreter each filed of phenomena. A change of direction? The theory is very absorbed by mathematics producing two crucial consequences: a birth of a new theory (Théorie analytique de la chaleur) and, in the same time, a decadence scientific-cultural of the previous classical physical theory of heat.

30In the end, the Théorie analytique de la chaleur, also basing on results and concepts developed between 18th and 19th century, does not seem interested to the revolutionary debate of 19th century caused by the birth of thermodynamics. Rather, being methodologically based on mechanical and Newtonian view of nature (mathematical space and time, velocity, differential calculus, et al.), it contributed with the triumphant mécanique céleste, to a consolidation of more conservative faction of science. This latter hypothesis could also explain why after Lamé, the Théorie analytique de la chaleur resulted too much specialized. It seemed too much set on the needs of an advanced mathematics narrowed in an idealistic and rigid paradigm.

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Notes

1 The content of this paper is part of a larger research program worked at Facoltà di Architettura, Valle Giulia, Univer­sità di Roma « La Sapienza », Italy.

2 Cfr. : Louis-Bernard Guyton de Morveau, Antoine, Laurent, Lavoisier, Claude-Louis Berthollet, Antoine-François de Fourcroy, Méthode de nomenclature chimique, Paris : Cuchet, 1787. Cfr. : Antoine, Laurent, Lavoisier, Traité élémen­taire de Chimie, Paris : Gauthier-Villars (ed.), Parte I, Chap. 1, Parte 3, Chap. 3, 1789.

3 Lectures upon Elements of Chemistry, Edinburgh, 2 Voll. 1809. Cfr. : Guerlac, Henry, « Black, Joseph », Dictionary of Scientific Biography, New York : Scribner, 1970-1990, pp. 173-183.

4 Georg, Wilhem, Richmann, « De quantitate caloris, quae post miscelarti fluidorum, certo gradu calidorum, oriri debet, cogitationes », Ivi, op. cit.

5 Georg, Wilhem, Richmann, « Formulae pro gradu excessus caloris supra gradum caloris, mixti ex nivee et sale amo­niaco... », Novi commentarti Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, vol. I, 1750, pp. 171-172. Moreover, he wrote « caloris » that correspond to our modern magnitude temperature.

6 Antoine, Laurent, Lavoisier, Traité élémentaire de Chimie, Paris : Gauthier-Villars (ed.), Tome I-Ivr, 1789 ; Id., Œuvres de Lavoisier publiées par le soin de Son Excellence le Ministre de l’instruction publique et des cultes, 6 Voll., Paris : imprimerie Impériale, 1862-93.

7 E.g. one can see Méthode de nomenclature chimique (1687) by Lavoisier-Berthollet-de Fourcroy-de Morveau.

8  Lavoisier attempted an early distinction between heat and temperature. (Cfr. : Antoine, Laurent, Lavoisier, 1789, line 37, op. cit., pp. 12-17).

9 Antoine, Laurent, Lavoisier, Pierre Simon Laplace, « Mémoires sur la Chaleur », Histoire de l’Académie Royale des Sciences. Mémoires, Paris, (1780 and first reading on 18th June 1783), 1784, pp. 355-408.

10 Joseph-Louis, Gay-Lussac, « Recherche sur la dilatation des gaz et des vapeurs », Annales de Chimie, vol. 43, 1802.

11 Pierre, Louis, Dulong, Alexis, Thérèse, Petit, « Recherches sur les lois de la dilatation des solides, des liquides et des fluides élastiques, et sur la mesure exacte des températures », Annales de Chimie et de Physique, Tome, II, 1816.

12 Cfr. : Siméon-Denis Poisson, « Sur la vitesse du son », Annales de Chimie et de Physique, vol. XXIII, 1823, pp. 5-16.

13 Zeuner, Gustav, Théorie mécanique de la chaleur : avec ses applications aux machines, Paris : Gauthier-Villars, 1869.

14 Cfr. : Jacques, Payen, « Une source de la pensée de Sadi Carnot », Archive international d’Historie des Sciences, (21), 1968, pp. 18-30 ; Robert, Fox, « The intellectual environment of Sadi Carnot : a new look », Proceedings of XII Congres international d’Histoire des sciences, Tome IV, Paris, 1971a, pp. 67-72 ; A., Taton, (eds.), Sadi Carnot et l’essor de la thermodynamique, Centre National de la Recherche Scientifique, 1976 ; René, Taton, Table Ronde du Centre National de la Recherche Scientifique, in A.,Taton, 1976, op. cit.

15 Lazare, Carnot, Essai sur les machinés en général, Dijon : Defay (ed.), 1782. In ’70s, Gillispie proposed crucial remarks concerning philological links between two Carnots : « My [4] final questions remain, however : was the method of ana­lysis itself novel with the two Carnots ? ». (Charles, Clouston, Gillispie, « Lazare Carnot Savant », Princeton : Princeton U.P., 1971, pp. 31-32).

16 Sadi, Carnot, Réflexions sur la Puissance Motrice du Feu sur les machinés propre à développer cette puissance, édition critique par Fox Robert, Paris : Vrin J., 1978.

17 Robert, Fox, The Caloric Theory of Gases : From Lavoisier to Regnault, Oxford : Clarendon Press, 1971b.

18 Sadi Carnot only wrote a mathematical footnote (Sadi, Carnot, 1978, ft. n. 1, op. cit,. pp. 73-79).

19 Antonino, Drago, Raffaele, Pisano 2007, « La novità del rapporto Fisica-Matematica nelle Réflexions sur la Puissance motrice du feu di Sadi Carnot (1824) », Fond. Ronchi, pp. 497-525.

20 Benoît, Paul, Émile, Clapeyron, « Mémoire sur la Puissance Motrice du Feu », Jour. École Polytechnique du Paris.

21 Rudolf, Julius, Emmanuel, Clausius, « Ueber die bewegende Kraft der Waerme und die Gesetze... », Annalen Phys. Chem., vol. 155, 1850, pp. 368-397 ; pp. 500-524 ; William, Thomson, « On an absolute thermometric scale founded on Carnot’s theory of the motive power of heat, and calculated from Regnault’s observations », Math. and Phys., vol. 1, pp. 100-106 ; Id., « On the dynamical theory of heat... », Math. and Phys., vol. 1, 1851, pp. 175-183.

22 Some of them : Joseph, Liouville, Thèses de mécanique et d’astronomie, Paris : Imprimerie de bachelier, 1836 ; Johann, Peter, Gustav, Lejeune, Dirichlet, « Uer die Darstellung ganz willkurlicher Funktionen durch Sinus-und Cosinus-rei­hen », Repertorium der Physik, (1), pp. 152-174, 1837. Fernand, Reech, « Théorie général des effets dynamiques de la Chaleur », Journal de Mathématiques pures et appliquées, Tome XXVIII, 1853, pp. 357-378 ; Georg, Friedrich, Riemann, « Memoir on the conduction of heat », (1861), 1868 in : Heinrich, Weber, BernhardRiemann’s GesammelteMatheam-

tische Werke, Teubner 1892, pp. 391-404. See also Michael, Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. II, Berkeley : Perish Inc., 1979, pp. 179-182 ; Eugenio Beltrami : 1871-1874 Ricerche sulla cinematica dei fluidi ; 1882 Sulle equazioni generali dell’elasticità ; 1884 Sulla rappresentazione delle forze newtoniane per mezzo di forze elastiche ; 1889 Note fisico-matematiche.

23 Georg, Friedrich, Bernhard, Riemann (1826-1866) : Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854 ; Theorie der AbePschen Functionen, 1857 ; Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse, 1859 ; Enrico Betti (1823-1892) : Opere matematiche di Enrico Betti 1823-1892.

24 Ivor, Grattan-Guinness, Jerome, Ravetz, Joseph Fourier, 1768-1830, Cambridge : MIT Press, 1972 ; Id., « Fourier, Jean Baptiste Joseph », Dictionary of Scientific Biography, New York : Scribner, 1970-1990.

25 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides », Nouveau Bulletin des Sciences par la Société philomathique de Paris, Tome I, pp. 112-116. (n. 6, mars 1808), Paris : Bernard, 1807 ; Id., Œuvres de Fourier, Paris : Gauthier-Villars, 2 Voll., 1888-1890.

26 Ivor, Grattan-Guinness, « Joseph Fourier and the revolution in mathematical physics », Journal of the Institute of Ma­thematics and its Applications, (5), 2, 1969, p. 230.

27 The prize was only conferred on 1812.

28 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Mémoire su la théorie analytique de la chaleur dans les solides », Mémoires de l’Aca­démie royale des sciences de l’Institut de France pour l’année 1825, Tome VIII, pp. 581-622, Paris : Firmin Didot, 1829 ; Id., Œuvres complètes, op. cit., pp. 595-614.

29 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris : Firmin Didot, 1822, pp. i-xxij ; Id., Œuvres de Fourier, vol. I, op. cit.

30 Gabriel, Lamé, « Discours préliminaire », Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, Paris : Mallet-Bachelier, p. XII,

line 20, 1861.

31 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, « Discours préliminaire », Théorie analytique de la chaleur, Paris : Firmin Didot, 1822, pp. i-xxij ; Id., Œuvres de Fourier, op. cit., vol. I.

32 Ivi, op. cit., line 25, p. vij.

33 Ivi, op. cit., line 12, p. viij.

34 Ivi, op. cit., line 10, p. ix. (Italic style from the author).

35 E.g. : Denis, Papin (1691) ; Thomas, Savery (1698) ; Boulton & Watt company in Soho, near Birmingham (1776-1800), Richard, Trevithick (1801)with the first steam engine called « Catch me who can » ; George, Stephenson (1813).

36 Charles, Singer, Storia della tecnologia, vol. 4, Torino : Boringhieri, 1981, pp. 152-221 ; Henry, Winram, Dickinson, A short history of the Steam Engine, Cambridge : University Press, 1939, chapp. 1-2 ; Thomas, Tredgold, The Steam Engine, its Invention and Progressive Improvements, vol. 2, London, 1838.

37 Jean Baptiste, Joseph, Fourier, « Discours préliminaire », Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., pp. i-ij.

38 Ivi, op. cit., pp. ij-iv.

39 Sadi Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu sur les machinés propre à développer cette puissance, op. cit.

40 Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., line 23, p. ij.

41 Ivi, op. cit., line 14, p. iij.

42 Ivi, op. cit., line 4, p. xj.

43 Ivi, op. cit., line 14, p. 605. (Italic style from the author).

bulletin sabix n° 44 - actes du colloque Gabriel Lamé (janvier 2009)

44 Ivi, op. cit., line 11, p. 42.

45 Ivi, op. cit., line 10, p. 18.

46  Ivi, op. cit., line 19, pp. 134-135. (Italic style from the author).

47 Cfr. : Ivor, Grattan-Guinness, « Joseph Fourier and the revolution in mathematical physics », Journal of the Institute of Mathematics and its Applications, (5), 2, 1969, pp. 230-253.

48 David, Keston, « Joseph Fourier, Politician & Scientist », also available at : http://www.todayinsci.com/F/Fourier_JBJ/ FourierPoliticianScientistBio.htm.

49 « [...] les effets les plus composés de toutes les forces naturelles, et l’on a confirmé cette pensée de Newton : Quod tam paucis tam multa proestet geometria gloriatur. Mais quelle que soit l’étendue des théories mécaniques, elles ne s’appliquent point aux effets de la chaleur. Ils composent un ordre spécial de phénomènes qui ne peuvent s’expli­quer par les principes du mouvement et de l’équilibre. [.] et par la toute question physique de ce genre est ramenée à une recherche d’analyse mathématique. J’en ai conclu que pour déterminer en nombre les mouvements les plus variés de la chaleur, il suffit de soumettre chaque substance à trois observations fondamentales. » (Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., line 20, pp. ij-iij. (Italic style from the author).

50  Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, Paris : Mallet-Bachelier, 1861.

51 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, Paris : Bachelier, 1852, line 12, pp. V-VL

52 Ivi, op. cit., line 4, p. VI.

53 Ibidem, op. cit., line 24.

54 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides, Paris : Bachelier, 1852.

55 Gabriel, Lamé, 1861, « Discours préliminaire », op. cit., p. V

56 Ivi, op. cit., line 26, p. VI.

57 Ivi, « Première leçon », op. cit., line 8, p. 2.

58 Gabriel, Lamé, Leçons sur la théorie analytique de la chaleur, 1861, op. cit., line 8, p. 16. Let’s note that for better reading we changed some letters in the formula « (23) ». Nevertheless, the mathematical content does not change.

59  « 15. Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. [...]. Ces expériences confirment le principe dont on est parti, et qui est adopté de tous les physiciens, malgré la diversité de leurs hypothèses sur la nature de la chaleur. » (Jean, Baptiste, Joseph, Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., line 16, p. 12). « SECTION II. [.] 22. On ne pourrait former que des hypothèses incertaines sur la nature de la chaleur, mais la connaissance de lois ma­thématiques auxquelles ses effets sont assujettis est indépendant de toute hypothèse ; elle exige seulement l’examen attentif des faits principaux que les observations communes ont indiquées, [.]. » (Ivi, op. cit., line 7, p. 18). Please, see also : Id., Théorie analytique de la chaleur, 1822, op. cit., pp. 4-6.

60 Ivi, « Première leçon », op. cit., p. 1.

61 Pierre, Simon, Laplace, Exposition du système du monde, Paris : Fayard, (1836) 1984 ; Id., Traité de mécanique céleste, Paris : Courcier, 1805.

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Pour citer cet article

Référence papier

Raffaele Pisano et Danilo Capecchi, « « La théorie analytique de la chaleur » : Notes on Fourier et Lamé », Bulletin de la Sabix, 44 | 2009, 87 - 93.

Référence électronique

Raffaele Pisano et Danilo Capecchi, « « La théorie analytique de la chaleur » : Notes on Fourier et Lamé », Bulletin de la Sabix [En ligne], 44 | 2009, mis en ligne le 22 mai 2011, consulté le 28 juin 2017. URL : http://sabix.revues.org/683

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Auteurs

Raffaele Pisano

Danilo Capecchi

University of Roma « La Sapienza » - E-mail pisanoraffaele@iol.it

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