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Sur la résolution numérique des systèmes d’équations linéaires

André-Louis Cholesky
p. 81 - 95

Texte intégral

1La solution des problèmes dépendant de données expérimentales, qui peuvent dans certains cas être soumises à des conditions, et auxquelles on applique la methode des moindres carrés, est toujours subordonnée au calcul numérique des racines d’un système d’équations linéaires. C’est le cas de la recherche des lois physiques ; c’est aussi le cas de la compensation des réseaux géodésiques. Il est donc interessant de rechercher un moyen sur et aussi simple que possible d’effectuer la résolution numérique d’un système d’équations linéaires.

2Le procédé que nous allons indiquer s’applique aux systèmes d’équations symétriques auxquels conduit la methode des moindres carrés ; mais nous remarquerons tout d’abord que la résolution d’un système de n équations linéaires à n inconnues peut très facilement se ramener a la résolution d’un système de n équations lineaires symétriques a n inconnues.

3Considerons en effet le système suivant :

4Effectuons la transformation lineaire représentée par le système :

5Le systeme d’équations I donnant les n inconnues γ se trouve remplacé par le système III donnant les n inconnues λ permettant, à l’aide de II, de calculer les valeurs des γ.

6On a d’une façon générale :

7Le coefficient Aqpest obtenu en faisant le produit des coefficients des lignes p et q du système I qui se trouvent dans la meme colonne et en faisant la somme des produits ainsi obtenus dans les n colonnes, ce qu’on peut exprimer symboliquement en disant que Aqpest le produit de la ligne p par la ligne q.

8L’ordre des facteurs pouvant être inversé dans chaque produit, on voit immédiatement que

9dans le déterminant du systeme III les termes symétriques par rapport à la diagonale sont égaux, autrement dit le système d’équations aux X est symétrique.

10Proposons-nous donc de résoudre un système d’équations de la forme III.

11Remarquons d’après ce qui précède que le système d’equations II si l’on y supposait les γ connus serait un système d’équations aux λ équivalent au systeme III. On aurait donc un moyen de résoudre le systeme III si l’on pouvait trouver un système I permettant de calculer facilement les γ.

12C’est ce qui arrive si dans le système I, la premiere équation contient seulement γ1, la 2ème γ1 et γ2, la 3eme γ1, γ2 et γ3, ainsi de suite. On peut en effet calculer ainsi tous les γ successivement à partir de γ1. Le problème est donc ramené à la recherche du système.

13Ce système étant en effet trouve le problème devient très facile, puisque le système II est remplacé par le système VI qui permet de calculer les λ de proche en proche a partir de λn.

14Nous calculerons facilement les coefficients αen partant des coefficients A du système III, en appliquant les relations générales IV) au système V. On voit ainsi qu’on peut calculer ligne par ligne tous les coefficients du système VI

15Quant au calcul des γ il s’effectue facilement à l’aide des équations V. On obtient

16ce qui montre que les coefficients (—γ) qui figurent dans le tableau des équations VI) se calculent par rapport aux termes constants C du tableau III exactement de la meme façon que les coefficients αpar rapport aux A.

17Les calculs peuvent etre disposés d’une façon commode en un seul tableau. Les équations données étant symétriques, il suffit d’écrire dans le tableau les coefficients d’un seul coté de la diagonale, en-dessus par exemple.

18Les équations transformées du système VI peuvent alors etre disposées en dessous de la diagonale symétriquement placées par rapport aux équations données, chaque nouvelle équation occupant une colonne en dessous de la diagonale.

19Les écritures se bornent à la transcription des coefficients α ; en effet le calcul d’un coefficient αde la forme

20est effectué sur la machine à calculer à l’aide d’une serie de multiplications qui s’ajoutent automatiquement et algébriquement sur la machine, la somme algébrique étant immédiatement divisee par K. On utilise ainsi l’opération la plus compliquée que puisse faire la machine à calculer, par suite on obtient le rendement maximum de cette machine, tout en se mettant autant que possible a l’abri des erreurs [raye et remplace par « fautes »] fréquentes dans les transcriptions de chiffres lus.

21On trouve, tant dans la disposition des calculs, que dans l’emploi de la machine à calculer, des simplifications pour l’application des formules ou des indications précieuses. Donnons un seul exemple : les machines à calculer du genre « Dactyle » enregistrent le quotient en chiffres blancs ou rouges suivant que la division est faite en tournant dans le sens de l’addition ou de la soustraction, il s’ensuit que tout coefficient α etant le résultat d’une division sur la machine, son signe est indiqué par la couleur des chiffres qui le composent ; les erreurs de signe sont ainsi facilement evitées.

22Il paraît inutile d’insister sur le reste de la resolution, c’est à dire sur le calcul des λ à l’aide du système VI). On voit en effet immédiatement comment on peut remonter successivement de λnà λn-1, puis à λn-2et ainsi de suite jusqu’a λ1.

23On peut mettre en évidence les avantages de cette méthode de résolution des systèmes linéaires, au point de vue de l’approximation avec laquelle les résultats sont obtenus.

24Toute méthode de résolution doit nécessairement conduire à un système d’équations du genre du systeme VI permettant d’obtenir directement une des inconnues et de determiner successivement toutes les autres. Supposons qu’on ait été conduit au système :

25on peut faire correspondre a ce système un second système fournissant les valeurs des ε, soit :

26Les formules IV sont alors remplacées par les suivantes :

27Il en résulte que le mode de résolution des systèmes lineaires qui vient d’être exposé apparaît comme celui qui fournit la meilleure approximation des calculs. Cette proprieté qui permet de réduire au strict minimum le nombre de décimales à employer dans les calculs, compense largement le petit inconvenient d’employer la racine carrée dans la résolution d’équations linéaires.

28D’autant plus que la racine carrée peut être obtenue facilement et rapidement à l’aide de la machine à calculer par le procédé suivant complètement différent des procédés generalement indiqués par les fabriquants de machines à calculer.

29Soit à extraire la racine carrée d’un nombre N.

30Supposons qu’on connaisse un nombre n voisin de la racine r cherchée. Soit pour fixer les idées

31r = n + ε

32N = r2 = (n + ε)2 = n2 + 2nε + ε2.

33Si ε2 est d’un ordre inferieur à la dernière décimale que l’on veut calculer, on a le droit d’écrire

34N = n2 + 2nε = n(n + 2ε)

35c’est à dire qu’en divisant N par n on a pour quotient

36n + 2ε.

372εreprésente l’excès de ce quotient sur le diviseur n et l’on obtient r en ajoutant a n la moitie de cet excès.

38Pratiquement, il est avantageux d’avoir à sa disposition une table de carrés qui donne à premiere vue la racine carrée d’un nombre quelconque avec 3 chiffres significatifs exacts.

39La première division donne la racine carrée avec 5 chiffres significatifs.

40donc la 2eme division faite avec la racine a 5 chiffres exacts donnerait 9 chiffres significatifs exacts et ainsi de suite. On peut énoncer une règle simple en supposant que le nombre comporte une virgule placee a la droite du premier chiffre de gauche. Dans ces conditions chaque division double le nombre de décimales de la racine. A l’aide de ce procédé, un opérateur exercé obtient en quelques secondes la racine carrée d’un nombre de 5 chiffres avec le même nombre de chiffres exacts.

41La méthode de résolution des systèmes linéaires qui vient d’être exposée a été complétée par l’adaptation du systéme de vérification indiqué par Gauss sous le nom de preuve par sommes.

42La vérification est obtenue de la façon suivante : On juxtapose au terme constant Cpde l’équation de rang p un terme Vpdonné par la relation

43Dans ces conditions la somme des nombres inscrits dans la ligne p du système des équations est nulle. Si l’on traite Vpdans la résolution de la meme façon que Cp, cette relation lineaire se maintiendra et sera encore vraie pour les coefficients α.

44De plus il sera encore possible de verifier le calcul des λ a partir du systeme des équations VI), car si l’on remplace dans les equations III les termes constants C par les termes de vérification V, l’opération équivaut à changer λ en (1 — λ) ; le calcul des inconnues fait avec les V donne donc des valeurs λ’ telles que λp+ λ'p= 1.

45On peut en opérant comme il vient d’étre dit réussir à coup sur et en peu de temps la résolution de systémes d’équations très complexes.

46La résolution d’un système de 10 équations à 10 inconnues peut étre faite avec 5 chiffres exacts, en 4 a 5 heures, y compris la vérification des équations et le calcul des résidus.

47On a résolu par cette méthode plusieurs systèmes dépassant 30 équations, et en particulier un système de 56 équations. Ce dernier cas fait partie d’un calcul de compensation des altitudes des chaînes primordiales de la triangulation de l’Algérie. En raison de l’importance des calculs et pour éviter l’encombrement, on a dû adopter une disposition spéciale, mais les calculs ont été conduits exactement comme il vient d’être dit.

48Vincennes le 2 Décembre 1910

49Signature

Pages manuscrites du chapitre sur la résolution numérique des systèmes d’équations linéaires

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Archives de l’Ecole Polytechnique (Fonds A. Cholesky)

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Pour citer cet article

Référence électronique

André-Louis Cholesky, « Sur la résolution numérique des systèmes d’équations linéaires », Bulletin de la Sabix [En ligne], 39 | 2005, mis en ligne le 07 décembre 2010, consulté le 28 mai 2017. URL : http://sabix.revues.org/529

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